Мстислав Всеволодович Келдыш родился 10 февраля 1911 г. в Риге (Латвия) в семье адьюнкт-профессора Рижского политехнического института, крупного инженера-строителя (впоследствии академика архитектуры) Всеволода Михайловича Келдыша и домохозяйки Марии Александровны Скворцовой.

Отец и мать происходили из дворянских семей, знали французский и немецкий языки, играли на фортепиано, любили музыку и искусство, к которым приучали детей, занимаясь их образованием.

В 1915 г., когда к Риге подошли немецкие войска, семье пришлось эвакуироваться в Москву. В 1919-1923 гг. Мстислав Келдыш жил в Иваново, где отец преподавал в политехническом институте. В 1923 г., когда семья Келдышей вернулась в Москву, Мстислав стал учиться в школе со строительным уклоном, летом ездил с отцом на стройки, работал разнорабочим. Склонность к математике у Келдыша проявилась еще в 7-8 классах, учителя уже тогда отличали его незаурядные способности к точным наукам.

В 1927 г., окончив школу, он хотел стать строителем, как отец, но в инженерно-строительный институт его не приняли по возрасту (ему было только 16 лет). В этом же году Мстислав Келдыш поступил на физико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова (МГУ). С весны 1930 года он одновременно с учёбой начал работать ассистентом в Электромашиностроительном институте, затем еще и в Станкоинструментальном институте.

В 1931 г. Келдыш окончил МГУ и был направлен в Центральный аэрогидродинамический институт имени Н.Е.Жуковского (ЦАГИ), где проработал до 1946 г. сначала инженером, затем - старшим инженером, начальником группы, а с 1941 г. - начальником отдела динамической прочности. С 1932 г. читал лекции в МГУ.

В ЦАГИ Мстислав Келдыш выполнил ряд важных исследований по аэрогидродинамике. Им были получены результаты в задачах неустановившихся движений крыла, строгого обоснования вихревой теории винта Жуковского, теории удара тел о жидкость, теории движений тел под поверхностью жидкости и теории обтекания тел сжимаемой жидкостью.

Продолжая работать в ЦАГИ, Келдыш поступил осенью 1934 г. в аспирантуру (дополненную затем двухлетней докторантурой) Математического института имени В.А. Стеклова АН СССР, где занимался теорией функций действительного и комплексного переменного, уравнениями с частными производными, функциональным анализом.

В 1935 г. ему без защиты диссертации была присвоена ученая степень кандидата физико-математических наук, в 1937 г. - степень кандидата технических наук и звание профессора по специальности «аэродинамика».

26 января 1938 г. Келдыш защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук на тему «О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и гармонических функций».

В 1938 г. был создан Научно-технический совет ЦАГИ, в который вошел Мстислав Келдыш; затем он стал членом Ученого совета ЦАГИ.

Во время Великой Отечественной войны он работал на авиационных заводах и, как начальник отдела динамической прочности ЦАГИ, курировал проблему вибраций в самолетостроении.

С 1942 по 1953 год Мстислав Келдыш являлся профессором МГУ. На физико-техническом факультете МГУ он заведовал кафедрой термодинамики и вел курс математической физики, а на механико-математическом - читал лекции и руководил научно-исследовательским семинаром по теории функций комплексного переменного.

29 сентября 1943 г. Келдыш был избран членом-корреспондентом АН СССР по Отделению физико-математических наук.

В 1944-1953 гг. он был заведующим отделом механики в Математическом институте имени В.А.Стеклова АН СССР. С 1949 г. был заместителем директора института.

В конце 1946 г. Келдыш был избран действительным членом АН СССР по Отделению технических наук.

В 1946 г. он был назначен начальником Реактивного научно-исследовательского института (НИИ-1, ныне Исследовательский центр (ИЦ) имени М.В.Келдыша), занимавшегося прикладными задачами ракетостроения. С августа 1950 года по 1961 год Келдыш был научным руководителем НИИ-1. Основное направление деятельности Келдыша было связано с ракетной техникой.

В послевоенные годы занимался решением проблем атомной энергетики. По этой тематике создал и возглавил расчетное бюро.

В 1953 г. Келдыш стал основателем Института (до 1966 г. - Отделения) прикладной математики (ИПМ) АН СССР и его бессменным директором до 1978 г. С деятельностью института связано развитие вычислительной математики в стране.

В 1954 г. Мстиславом Келдышем, Сергеем Королевым и Михаилом Тихонравовым было представлено письмо в Правительство с предложением о создании искусственного спутника Земли (ИСЗ). 30 января 1956 г. Келдыш был назначен председателем специальной комиссии Академии наук по искусственному спутнику Земли.

Ученый сыграл решающую роль в создании ракеты-носителя для выведения на орбиту спутников по научным программам (спутники семейства «Космос»). Руководил «лунной» программой, включая полеты автоматических станций семейства «Луна». Также участвовал в программе исследования Венеры, связанной с автоматическими станциями семейства «Венера».

В 1960 г. был назначен председателем образованного Межведомственного научно-технического совета по космическим исследованиям при АН СССР.

С 1961 по 1975 год Мстислав Келдыш был президентом Академии Наук СССР. Возглавляя АН СССР, он оказывал всемерную поддержку развитию в СССР математики и механики, а также новых направлений науки, таких, как кибернетика, квантовая электроника, молекулярная биология и генетика.

С 1961 г. возглавлял Комитет по Ленинским и Государственным премиям СССР в области науки и техники.

Мстислав Келдыш входил в различные комиссии по космическим проблемам, в частности, был председателем аварийной комиссии по выяснению причин гибели экипажа космического аппарата «Союз-11».

Он внес огромный вклад в осуществление совместного советско‑американского космического полёта «Союз-Апполон» (1975). Всемерно развивал международное научное сотрудничество и координацию научных исследований, создал программу сотрудничества «Интеркосмос», посетил с научными визитами ряд зарубежных стран (США, Япония, Германия, Англия, Чехословакия и другие).

Был одним из инициаторов создания в 1951 г. Московского физико-технического института (в г. Долгопрудном Московской области), в котором читал лекции, был заведующим кафедрой.

В последние годы жизни Келдыш интересовался проблемой создания солнечных электростанций на космической орбите.

Заслуги академика Мстислава Келдыша высоко оценены. Он трижды Герой Социалистического Труда (1956, 1961, 1971), лауреат Ленинской (1957) и Государственных (1942, 1946) премий, награжден семью орденами Ленина (1945, 1954, 1954,1956,1961, 1967, 1975), тремя орденами Трудового Красного Знамени (1943, 1945, 1953), медалями, а также орденами и медалями иностранных государств.

Мстислав Келдыш был избран иностранным членом 16 Академий мира, почетным доктором шесть университетов.

В 1973 г. ученый перенес сложную операцию на кровеносных сосудах. Скончался Мстислав Келдыш 24 июня 1978 г. Урна с его прахом захоронена в Кремлевской стене на Красной площади в Москве.

Мстиславу Келдышу установлены памятники в Москве и Риге, памятные доски на зданиях, где он жил (Воробьевское шоссе) и работал (МГУ и ИПМ). Память об ученом увековечена в названиях институтов (ИПМ и ИЦ), научно-исследовательского судна, площади в Москве, кратера на Луне и малой планеты Солнечной системы.

Золотую медаль имени М.В. Келдыша вручает Российская академия наук за выдающиеся научные работы в области прикладной математики и механики, а также теоретических исследований по освоению космического пространства.